Caos clásico y cuántico

Objetivos
  • ⚬Estudio del caos en sistemas clásicos deterministas:
    1. Desarrollo de nuevos indicadores de caos
    2. Estudio de sistemas de más de 2 grados de libertad
    3. Estudio de sistemas abiertos
    4. Aplicación a Sistemas dinámicos No lineales (Dinámica de poblaciones, Economía, flujos de datos en Internet, etc)
  • ⚬Estudiar la correspondencia entre la mecánica clásica y cuántica en Sistemas caóticos
  • ⚬Estudiar las manifestaciones cuánticas de sistemas clásicamente Caóticos

Estudiamos sistemas mesoscópicos, atómicos y moleculares, desde el punto de vista clásico y cuántico. En el estudio clásico, analizamos el movimiento mediante el uso de poderosas técnicas, desarrolladas en el marco de la teoría de los sistemas dinámicos. Por ejemplo, analizamos el comportamiento regular o caótico del sistema utilizando la técnica de la sección de Poincaré, y hallamos las estructuras invariantes que caracterizan cada región, ya sean toros, órbitas periódicas o variedades estables e inestables. En el estudio cuántico, hallamos los estados estacionarios del sistema haciendo hincapié en el análisis de los fenómenos de scars (localización débil de la densidad de probabilidad en regiones dinámicamente inestables). Los estudios cuánticos se sustentan además, en técnicas semiclásicas innovadoras, algunas de las cuales se están desarrollando en este grupo de investigación.

Descripción

En la naturaleza existen dos tipos de movimiento radicalmente distintos. Por un lado, es bien conocido el movimiento regular de los sistemas integrables como el péndulo simple [1] o el problema de dos cuerpos de Kepler [2]. Este movimiento está confinado en el espacio de fases a estructuras clásicas denominadas toros invariantes; el movimiento está limitado porque hay tantas constantes de movimiento como grados de libertad. Por otro lado, tenemos el movimiento caótico de los sistemas no integrables, donde el número de constantes de movimiento es inferior al número de grados de libertad; estos sistemas ocurren más frecuentemente en la naturaleza.

El comportamiento caótico aparece cuando los toros invariantes se rompen al variar algún parámetro del sistema, tal y como indica el Teorema KAM [3], permitiendo a las trayectorias moverse por todo el espacio de fases accesible a la energía del sistema. El movimiento caótico está caracterizado por una sensibilidad extrema a las condiciones iniciales, y esta sensibilidad se manifiesta por caso en las dificultades que hay a la hora de predecir el tiempo atmosférico [4], del complejo movimiento que describen las partículas de un fluido en régimen turbulento o de la aparición de ciertos huecos en el cinturón de asteroides que hay entre Marte y Júpiter [5].

Al estudiar sistemas microscópico, aparecen efectos cuánticos, y la noción de trayectoria deja de tener sentido. Esto hace que los indicadores de caos clásico, tales como la Superficie de Sección de Poincaré o el exponente de Lyapunov, no se puedan aplicar directamente, siendo necesario definir nuevos indicadores. Este hecho junto con la linealidad de la ecuación de Schodinger hizo que en un principio no se hablara de ‘caos cuántico’. Hoy en día, sin embargo, se entiende por ‘caos cuántico’ a la disciplina que estudia las manifestaciones cuánticas de los sistemas clásicamente caóticos [6]. Por supuesto, es de esperar que en el límite semiclásico, cuando la longitud característica del sistema es mucho mayor que la longitud de onda de de Broglie, los sistemas cuánticos se comporten como sus correspondientes clásicos (ya sean regulares o caóticos), de acuerdo al Principio de Correspondencia de Niels Bohr [7].

El caos cuántico ha desarrollado dos vertientes de estudio. Por un lado aparece la exitosa Teoría de Matrices Aleatorias (RMT), que fue originariamente desarrollada por Wigner para estudiar el espectro de núcleos atómicos [8]. Esta teoría ha demostrado tanto teórica como experimentalmente que los niveles cuánticos de energía de un sistema se ven afectados por el comportamiento clásico regular o caótico del mismo [9]. Se debe remarcar, no obstante, que RMT estudia características universales de los sistemas, no pudiendo decir nada acerca de sus particularidades.

La otra vertiente del caos cuántico se basa en la utilización de métodos semiclásicos. En los sistemas integrables, las teorías semiclásicas WKB (Wentzel-Kramers-Brilloin) para los sistemas de una dimensión y EBK (Einstein-Brilloin-Keller) para los sistemas de dos o más dimensiones han permitido explicar con éxito la correspondencia entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica [10]. Estas teorías se basan, respectivamente, en la cuantización de la acción de las órbitas periódicas (WKB), o de circuitos irreducibles sobre toros invariantes (EBK), lo que siempre es posible en este tipo de sistemas dado que las trayectorias se encuentran confinadas en toros. En base a la cuantización de los toros invariantes, M. V. Berry y M. Tabor obtuvieron una ecuación que describe la densidad de estados de un sistema integrable en función de parámetros relevantes de las órbitas periódicas [11].

La correspondencia entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica en los sistemas clásicamente caóticos sigue siendo, por el contrario, un problema abierto en la actualidad. Hoy en día sabemos que las órbitas periódicas juegan un papel central para profundizar en esta correspondencia, como demostró M.C. Gutzwiller con su célebre Fórmula de la Traza [12]. Esta fómula da la densidad cuántica de estados de un sistema clásicamente caótico en función de distintos invariantes canónicos de las órbitas periódicas. Cabe mencionar que si bien la Fórmula de la Traza resulta de gran importancia desde el punto de vista teórico, no es práctica para hallar propiedades de estados estacionarios, dado que el número de órbitas periódicas que se debe utilizar crece exponencialmente con la energía.

Las órbitas periódicas inestables redoblaron su importancia cuando E. J. Heller, estudiando el billiar caótico de Bunimovich, observó que algunas de sus autofunciones se localizaban a lo largo de órbitas periódicas inestables de período corto [13]. Esta localización resultó ser muy sorprendente, dado que la estructura hiperbólica de una órbita periódica inestable hace que una trayectoria cercana a la misma se aleje exponencialmente de ella. Heller acuñó el término ‘scarring’ para denominar este fenómeno.

En 1988 E. Bogomolny [14] demostró que el fenómeno de scarring no es una propiedad de un único autoestado, sino que dicha localización resulta de promediar aquellos autoestados que se encuentran en una ventana de energía. Posteriormente M. V. Berry [15] propuso una formulación equivalente trabajando en espacio de fases; Bogomolny había utilizado el espacio de configuración. Más tarde, G. G. Polavieja et. al. [16] propusieron una construcción semiclásica de una función de onda localizada a lo largo de una órbita periódica como una combinación de unas pocas autofunciones de un sistema clásicamente caótico, conocida hoy en día con el nombre de ‘función de tubo’. Posteriormente la función de tubo fue mejorada por E. Vergini and G. Carlo para dar lugar a la ‘función de scar’ [17]: una función de onda que no solo está localizada a lo largo de la órbita periódica, sino también a lo largo de las variedades estables e inestables de la misma. Esta construcción ha permitido apreciar la importancia de las variedades estables e inestables, como se refleja en una serie de trabajos recientes [18-20].

Aunque la mayoría de los trabajos sobre scars se han centrado en el estudio de sistemas altamente caóticos, en el año 2000, J. P. Keating y S. D. Prado [21] estudiaron su comportamiento en un sistema genérico (con un espacio de fases mixto), en el que aparecen bifurcaciones. Basándose en el trabajo de Bogomolny, estos investigadores demostraron que cerca de una bifurcación, existe una localización más ancha y de mayor amplitud que para el caso de órbitas aisladas (como había estudiado Bogomolny), por lo que la denominaron ‘superscars’.

Los fenómenos de scarring han sido estudiados de manera teórica en billares [13], mapas [22], osciladores no lineales [23] y sistemas moleculares [24]. Además, se han observado experimentalmente en cavidades resonantes [25, 26], dispositivos semiconductores [27] y fibras ópticas [28].

Desde su descubrimiento, se ha dedicado mucho esfuerzo a la compresión del fenómeno de scarring, pues juega un papel central en el estudio de la correspondencia entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica en presencia de caos. Sin embargo, quedan aún preguntas sin responder, y nuestro grupo de investigación trabaja activamente en tales cuestiones. De primordial importancia es conocer la influencia de cada órbita periódica corta en la construcción de un autoestado individual [29,30], y en este sentido estamos realizando estudios en sistemas mesoscópicos y moleculares para intentar dilucidar esta cuestión central.

[1] A. J. Lichtenberg, M. A. Lieberman, ‘Regular and stochastic motion’, Springer-Verlach (Nueva York, 1983).
[2] A. Celleti, ‘Stability and Chaos in Celestial Mechanics’, Springer-Verlach y Praxis Publishing Ltd. (Chichester, Reino Unido, 2010).
[3] V. I. Arnol’d, ‘Mathematical Methods of Classical Mechanics’, Springer-Verlach, Nueva York (1978).
[4] E. Lorenz, ‘The Essence of Chaos’, UCL Press Limited (Londres, 1995).
[5] M. V. Berry, Regular and Irregular Motion} in ‘Topics in Nonlinear Mechanics’, ed. S Jorna, Am. Inst. Ph. Conf. Proc. No. 46, 16-120 (1978).
[6] M. V. Berry, ‘Proc. R. Soc. Lond. A’ 423, 219 (1989).
[7] F. Haake, ‘Quantum signatures of Chaos’, Springer-Verlach (Heidelberg, 2010).
[8] E. P. Wigner, ‘Group Theory and its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra’, Academic Press (New York, 1959).
[9] 0. Bohigas, M.-J. Giannoni and C. Schmit, Phys. Rev. Lett. 52, 1 (1984).
[10] M. Brack, R.K. Bhaduri, ‘Semiclassical Physics’, Addison-Wesley Publishing Company, Inc. (Reading, Massachusetts, 1997).
[11] M. V. Berry, M. Tabor, Proc. Roy. Soc. A 349, 101 (1976).
[12] M. C. Gutzwiller, ‘Classical and Quantum Mechanics’, Springer-Verlach (New York, 1990).
[13] E. J. Heller, Phys. Rev. Lett. 53, 1515 (1984).
[14] E. B. Bogomolgi, Physica D 31, 169 (1988).
[15] M. V. Berry, Proc. R. Soc. Lond. A 423, 219 (1989).
[16] G. G. de Polavieja, F. Borondo and R. M. Benito, Phys. Rev. Lett. 73, 1613 (1994).
[17] E. G. Vergini and G. G. Carlo, J. Phys. A: Math. Gen. 34, 4525 (2001).
[18] D. Wisniacki, E. Vergini, R. M. Benito and F. Borondo, Phys. Rev. Lett. 94, 054101 (2005); ib. Phys. Rev. Lett 97, 094101 (2006).
[19] E. L. Sibert III, E. Vergini, R. M. Benito and F. Borondo, New J. Phys. 10, 053016 (2008).
[20] E. G. Vergini, E. L. Siebert III, F. Revuelta, R. M. Benito and F. Borondo, EPL 89, 40013 (2010).
[21] J. P. Keating and S. D. Prado, Proc. R. Soc. London, Ser. A 457, 1855 (2001).
[22] M. Saraceno, Ann. Phys. 199, 37 (1990).
[23] B. Eckhardt, G. Hose and E. Pollak, Phys. Rev. A 39, 3776 (1989).
[24] F. J. Arranz, F. Borondo and R. M. Benito, Phys. Rev. Lett. 80, 944 (1998).
[25] S. Sridhar, Phys. Rev. Lett. 67, 785 (1991).
[26] L. Huang, Y.-C. Lai, D. K. Ferry, S. M. Goodnick and R. Akis, Phys. Rev. Lett. 103, 054101 (2009).
[27] P. B. Wilkinson, et. al., Nature 380, 608 (1996).
[28] V. Doya, O. Legrand and F. Mortessagne, Phys. Rev. Lett. 88, 014102 (2002).
[29] E. G. Vergini, J. Phys. A: Math. Gen. 33, 4709 (2000); E. G. Vergini and G. G. Carlo, J. Phys. A: Math. Gen. 33, 4717 (2000).
[30] ‘New Directions in Linear Acoustics and Vibration’, Edited by M. Wright and R. Weaver, Cambridge University Press 2010. Chapter 5: Short
Periodic Orbit Theory of Eigenfunctions, by E. Vergini and G. Carlo.